Session normale 2018

---

Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `R` par ` g(x)= e^x -x^2 +3x-1` dont le tableau des variations est le suivant :




1) Vérifier que ` g(0) = 0 `

2) Déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]-infty , 0] ` et `[0,+infty[`

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)= (x^2-x)e^(-x) +x ` et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Vérifier que ` forall x in R : f(x)= x^2/e^x -x/e^x +x ` , puis montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Calculer ` lim_{ x to +infty} (f(x) -x) ` puis en déduire que la courbe `C_f` admet une asymptote oblique `(D)` au voisinage de `+infty` d'équation ` y = x `

c) Vérifier que ` forall x in R : f(x)= (x^2-x+xe^x)/e^x ` puis calculer `lim_{ x to -infty} f(x) `

2a) Vérifier que ` f(x) -x ` et `x^2-x` ont le meme signe pour tout ` x in R`

b) En déduire que la courbe `C_f` est au dessus de la droite `(D)` sur les intervalles `]-infty ,0]` et `[1,+infty[` et en dessous de `(D)` sur l intervalle `[0,1]`

3a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= g(x)e^(-x) `

b) En déduire que la fonction `f` est décroissante sur `]-infty , 0]` et croissante sur `[0,+infty[`

c) Dresser le tableau des variations de `f`

4a) Vérifier que pour tout ` x in R : f''(x)= (x^2-5x+4)e^(-x) `

b) En déduire que `C_f` admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives `1` et `4`

5) Construire la courbe `C_f` on donne ` f(4) approx 4,2`

Partie 3

Soit `(u_n)` la site numérique définie par ` u_0= 1/2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)= f(u_n) `

1) Montrer que `( forall n in N) : 0 <= u_n <= 1 ` Indication On pourra utiliser partie2)3)b)

2) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

3) En déduire que `(u_n)` est convergente et déterminer sa limite

Partie 4

1) Montrer que la fonction ` H : x-> (x^2+2x+2)e^(-x)` est une primitive sur `R` de la fonction ` h : x-> -x^2e^(-x) `

puis en déduire que `int_0^1 x^2e^(-x) dx = (2e -5)/e`

2) Par une intégration par parties montrer que `int_0^1 xe^(-x) dx = (e-2)/e`

3) Calculer en `cm^2` l'aire du domaine du plan délimité par la courbe `C_f` , la droite `(D) ` et les droites d'équations `x= 0` et `x= 1`

2) Déterminer le signe de `g(x)` sur chacun des intervalles `]-infty , 0] ` et `[0,+infty[`

Soit ` x in ] -infty , 0] `

`=> x <= 0 `

`=> g(x) <= g(0) ` car ` g` est croissante

`=> g(x) <= 0 `

` forall x in ] -infty , 0] : g(x) <= 0 `

Soit ` x in [0,+infty[ `

`=> 0 <= x `

`=> g(0) <= g(x) ` car `g` est croissante

`=> 0 <= g(x) `

`=> forall x in[0 , +infty[ : 0 <= g(x) `

On résume le signe de signe dans le tableau suivant

Partie 1

1) Vérifier que ` g(0) = 0 `

On a `g(0)= e^0 -0^2 +3xx0 -1 = 1 -1 = 0 `

`=> g(0)= 0 `

Partie 2

Soit `f` la fonction numérique définie sur `R` par ` f(x)= (x^2-x)e^(-x) +x ` et soit `C_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1a) Vérifier que ` forall x in R : f(x)= x^2/e^x -x/e^x +x ` , puis montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

Soit ` x in R ` On a ` f(x)= (x^2-x)e^(-x) +x `

` = (x^2 -x)/e^x +x `

` = x^2/e^x -x/e^x + x `

`forall x in R : f(x)= x^2/e^x -x/e^x + x `


On a :

` lim_{ x to +infty} x^2/e^x = lim_{ x to +infty} 1/(e^x/x^2)= 0 ` car ` lim_{ x to +infty} e^x/x^2= +infty `

` lim_{ x to +infty} x/e^x = lim_{ x to +infty} 1/(e^x/x)= 0 ` car ` lim_{ x to +infty} e^x/x= +infty `

` lim_{ x to +infty} x = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} [ x^2/e^x -x/e^x +x ] = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `